常常有这样的情况，我们希望知道一个函数的定积分，但是这个函数没有解析反导数。然而，有一种方法可以通过将函数分成小区间并近似计算面积来近似计算积分。一种常见的教授方法是黎曼和，其中使用矩形来近似计算定积分。有些函数对这样的方法近似计算积分效果不好，误差很大。这种情况出现在函数具有大变化区域和小变化区域的时候。如果使用简单均匀间隔的区间进行数值近似，误差将是相当大的。一个例子是使用大间隔的简单黎曼和;这将产生代表不符合预期面积的大面积。我们使用所谓的自适应积分法，这种技术尝试预测函数变化的程度，并相应地改变步长。自适应积分法的近似不仅高效，而且还在指定的误差容限范围内。自适应积分不仅减少了误差，还允许我们在不依赖于函数更高阶导数知识的情况下预测误差估计。虽然不是没有误差，但自适应积分为我们提供了一种方法，用以比其他方法更准确地数值近似函数的定积分，甚至是所谓的行为不良函数。行为不良函数没有导数可以导出容易估计的区域。相反，函数可以被微分的次数越多，它的行为就越良好。还应注意，这种自适应方法在估计所谓的行为良好函数时与其非自适应对应方法一样有效。

一、什么是数值积分?

在数值分析中，数值积分涉及一系列用于计算定积分数值的算法，此外，这个术语有时也用于描述微分方程的数值解法。数值积分所考虑的基本问题是计算定积分的近似解。它与解析积分不同，有两个方面的不同:首先，它是一个近似值，不会得出精确答案;误差分析是数值积分中非常重要的一个方面。其次，它不会产生一个基本函数，可以用来确定任意边界下的面积;它只会产生一个表示面积近似值的数值。

二、数值积分的背景

数值积分的起源可以追溯到古代。一个典型的例子是通过内接和外接正多边形来进行圆的希腊求面积法。这个过程导致了阿基米德对r的一个上界和下界。由于缺乏形式化的微积分，这些方法被广泛使用。无限小区间的总和方法在十六世纪之前是未知的，当牛顿将我们现在称之为微积分的概念正式化时，这个方法是无法实现的。数值积分的早期形式类似于希腊方法，将正多边形内切到曲线函数中。这个过程可以分解为取一个已知区域，将其与一个未知区域重叠以近似计算未知形状的面积。通过选择更合适的形状，可以提高准确性。后来的方法决定在估计曲线下的面积时改进，决定使用更多面积更小的正多边形。这种方法的一个例子是使用矩形来估计曲线下的面积，而不是使用矩形来更好地适应函数的曲率。今天，数值积分的最佳方法被称为具有非常小误差的积分法。三、数值积分的要素

如果f(x)是一个平滑良好的函数，在有限的维度上积分，并且积分的限制是有界的，那么有许多方法可以用任意精度来近似积分。我们考虑一个不定积分:

数值积分方法通常可以描述为将积分的评估结合起来，从而得到对积分的近似。积分在一个有限的点集(称为积分点)上进行评估，然后使用这些值的加权和来近似积分。例如，如果我们使用矩形作为我们的形状:

在这个例子中，定积分是通过矩形的面积来近似计算的。积分点和权重取决于所使用的具体方法以及近似所需的精度。任何数值积分方法分析的一个重要部分是研究近似误差随积分评估次数的函数行为。通常认为，对于少量评估次数产生小误差的方法是优越的。减少积分评估次数减少了所涉及的算术运算次数，从而减少了总的舍入误差。此外，每次评估都需要时间，而积分可能会任意复杂。需要注意的是.如果将分割数取为无限大，这将逼近表示曲线下面积的解析函数(在微积分中导出)。在实际操作中，我们不这样做，因为无限数量的分割会需要极大的计算能力，而且很少需要达到完全精确。

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